Pembahasan Soal Teori Bilangan Romanian Mathematical Olympiad 1999
Soal. Misalkan $a,b$, dan $c$ adalah tiga bilangan bulat yang semuanya tak nol, $a \neq c$, serta
memenuhi kondisi
\begin{equation*}
\frac{a}{c} = \frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}+b^{2}}. \qquad (1)
\end{equation*}
Buktikan bahwa $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ bukan bilangan prima.
Bukti.
Kita akan membuktikan secara kontradiksi. Andaikan $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ bilangan prima.
Menurut kondisi (1), diperoleh
\begin{equation*}
a(c^{2}+b^{2})=c(a^{2}+b^{2})
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow ac^{2}+ab^{2}=ca^{2}+cb^{2}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow ac^{2}+ab^{2} - ca^{2} - cb^{2} = 0
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow ab^{2} - a^{2}c + ac^{2} - b^{2}c = 0
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow a(b^{2} - ac) + c(ac - b^{2}) = 0
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow a(b^{2} - ac) - c(b^{2} - ac) = 0
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow (a-c)(b^{2} - ac) = 0. \qquad (2)
\end{equation*}
Menurut kondisi (2) dan karena $a \neq c$, maka
\begin{equation*}
b^{2} - ac = 0
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow b^{2} = ac. \qquad (3)
\end{equation*}
Selanjutnya, menurut (3) diperoleh
\begin{equation*}
a^{2}+b^{2}+c^{2} = a^{2}+ac+c^{2} = a^{2}+2ac+c^{2} - ac = (a+c)^{2}-ac = (a+c)^{2}-b^{2}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2} = (a+c)^{2}-b^{2} = (a+c-b)(a+c+b). \qquad (4)
\end{equation*}
Menurut (iv) dan karena $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ bilangan prima, maka terdapat empat kemungkinan:
(i) $ a+c-b=1 $ dan $ a+c+b = a^{2}+b^{2}+c^{2}, $
(ii) $ a+c+b=1 $ dan $ a+c-b = a^{2}+b^{2}+c^{2}, $
(iii) $ a+c-b=-1 $ dan $ a+c+b = -(a^{2}+b^{2}+c^{2}),$ atau
(iv) $ a+c+b=-1 $ dan $ a+c-b = -(a^{2}+b^{2}+c^{2}). $
Untuk kasus (i), diperoleh $ a+c=b+1 $ dan
\begin{equation*}
a^{2}+b^{2}+c^{2} = (a+c)+b = (b+1)+b = 2b+1
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow a^{2}+c^{2}+b^{2} - 2b + 1 = 2
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow a^{2}+c^{2}+(b-1)^{2} = 2. \qquad (5)
\end{equation*}
Karena $a \neq 0$ dan $c \neq 0$, maka menurut (5), $b-1=0$. Menggunakan (5) lagi, diperoleh
$ a^{2}+c^{2} = 2 $. Karena $a^{2} > 0$ dan $c^{2}>0$, maka $a=1$ dan $c=1$. Kontradiksi dengan $a \neq c$.
Untuk kasus (ii), diperoleh $ a+c=-b+1 $ dan
\begin{equation*}
a^{2}+b^{2}+c^{2} = (a+c)-b = (-b+1)-b = -2b+1
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow a^{2}+c^{2}+b^{2} + 2b + 1 = 2
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow a^{2}+c^{2}+(b+1)^{2} = 2. \qquad (6)
\end{equation*}
Karena $a \neq 0$ dan $c \neq 0$, maka menurut (6), $b+1=0$. Menggunakan (6) lagi, diperoleh
$ a^{2}+c^{2} = 2 $. Karena $a^{2} > 0$ dan $c^{2}>0$, maka $a=1$ dan $c=1$. Kontradiksi dengan $a \neq c$.
Untuk kasus (iii) dan (iv), metodenya sama dengan (i) dan (ii) untuk menemukan kontradiksi.
Dengan demikian, haruslah $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ bukan bilangan prima. QED
Komentar
Posting Komentar