Pembahasan Soal Teori Bilangan International Mathematics Olympiad (IMO) Tahun 1959

Berikut ini, saya akan membahas soal Teori Bilangan yang muncul dalam kontes IMO tahun 1959.

Soal.
Buktikan bahwa, pecahan \begin{equation*} \frac{21n+4}{14n+3} \end{equation*} tidak dapat disederhanakan, untuk setiap bilangan asli $ n $.

Diskusi Pendahuluan.
Sebelum membuktikan soal ini, kita perlu mengerti maksud dari "pecahan tidak dapat disederhanakan" dalam konteks teori bilangan. Misalkan $ a $ dan $ b \neq 0 $ keduanya bilangan bulat. Pecahan $ \frac{a}{b} $ tidak dapat disederhanakan jika dan hanya jika $ FPB(a,b) = 1 $. Dengan kata lain, pecahan $ \frac{a}{b} $ tidak dapat disederhanakan jika dan hanya jika faktor positif bersama dari $ a $ dan $ b $ hanya bilangan asli $ 1 $ (kalimat lain adalah $ a $ dan $ b $ keduanya saling prima).

Selanjutnya, untuk membuktikan Soal ini, kita memerlukan sifat (teorema) berikut ini:
Misalkan $ a, b, d $ adalah bilangan-bilangan bulat. Jika $ d|a $ dan $ d|b $, maka $ d| (ax + by) $, untuk setiap bilangan-bilangan bulat $ x $ dan $ y $.
(Pernyataan ini akan saya buktikan dalam postingan saya nanti).

Bukti Soal:
Perhatikan bahwa \begin{equation*} (-2)(21n+4) + 3(14n+3) = 1. \end{equation*} Hal ini berarti, jika $ d|(21n+4) $ dan $ d|(14n+3) $ dengan $ d>0 $, maka $ d|1 $. Akibatnya $ d=1 $. Dengan demikian, faktor positif bersama dari $ 21n+4 $ dan $ 14n+3 $ hanya bilangan $ 1 $. QED

Sampai jumpa di postingan saya selanjutnya.

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Daftar Publikasi Riset Analisis Matematika Saya

Berikut ini adalah publikasi-publikasi saya dalam riset matematika bidang analisis ruang-ruang  fungsi dan aplikasinya dalam teori persamaan diferensial parsial eliptik: Tumalun, N. K., and Tuerah, P. E. A. ( 2023 ) :  Some notes on the semi-open subspaces of topological spaces ,  Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications 20 (1), Art. 20, 6pp. Tumalun, N. K., and Tuerah, P. E. A. (2023) :  A regularity of Dirichlet problem with the data belongs to generalized Morrey spaces ,  AIP Conference Proceedings 2614, 040057. https://doi.org/10.1063/5.0125918 Tumalun, N. K. (2023) :   A n existence and uniqueness of the solution of semilinear monotone elliptic equation with the data in S tummel classes,  Barekeng: Journal of Mathematics and Applications 17(2), 1125-1123 . Tumalun, N. K., Hakim, D. I., and Gunawan, H. (2023) :  Some function spaces and their applications to elliptic partial differential equations ,  Matematicki V...
Baca selengkapnya

Pembahasan Soal Teori Bilangan Russian Mathematical Olympiad 1999

Soal. Buktikan bahwa setiap bilangan asli dapat dituliskan sebagai selisih dua bilangan asli yang mempunyai faktor-fakor prima sama banyaknya. Diskusi Pendahuluan. Maksud dari soal di atas adalah sebagai berikut. Misalkan $n$ adalah bilangan asli. Kita harus membuktikan bahwa terdapat dua bilangan asli $u$ dan $w$, sehingga $n=u-w$, dengan faktor prima prima dari $u$ sama banyaknya dengan faktor prima dari $w$. Bukti. Misalkan $n$ adalah bilangan asli. Menurut Teorema Dasar Aritmatika ( Fundamental Theorem of Arithmatic ), terdapat bilangan asli $m$ sehingga \begin{equation*} n = p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{m}^{k_{m}}, \qquad (1) \end{equation*} dengan $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{k}$ adalah bilangan-bilangan prima (saling berbeda), dan $ k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m} $ adalah bilangan-bilangan asli. Notasi (1) menyatakan bahwa terdapat sebanyak $m$ faktor-faktor prima dari $n$. Bukti terbagi menjadi dua kasus, pertama $n$ genap dan kedua $n$ ganjil. Misalkan $n$ genap. P...
Baca selengkapnya