Pembahasan Soal Teori Bilangan 39th International Mathematical Olympiad (IMO)
Soal. Tentukan semua pasangan bilangan bulat positif $(a,b)$ sehingga
\begin{equation*}
ab^{2}+b+7 \vert a^{2}b+a+b. \qquad (1)
\end{equation*}
Jawab.
Misalkan $ab^{2}+b+7 \vert a^{2}b+a+b$. Karena $ ab^{2}+b+7 \vert ab^{2}+b+7 $, maka
\begin{equation*}
ab^{2}+b+7 \vert b(a^{2}b+a+b)-a(ab^{2}+b+7)
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow ab^{2}+b+7 \vert b^{2}-7a. \qquad (2)
\end{equation*}
Menurut (2), terdapat tiga kasus, yaitu, $ b^{2}-7a = 0 $, atau $ b^{2}-7a < 0 $, atau $ b^{2}-7a > 0 $.
Jika $ b^{2}-7a = 0 $, maka $ b^{2} = 7a $. Perhatikan bahwa, untuk setiap bilangan bulat positif $k$, jika
$ a=7k^{2} $, maka $ b^{2} = 7a = 7^{2}k^{2} = (7k)^{2} $. Hal ini berarti, $ b = 7k $. Akan diuji, untuk setiap bilangan bulat positif $ k $, maka $ (a,b) = (7k^{2}, 7k) $ memenuhi (1). Jika $ (a,b) = (7k^{2}, 7k) $, maka
\begin{equation*}
a^{2}b+a+b = (7k^{2})^{2}(7k) + 7k^{2} + 7k = 7^{3}k^{5} + 7k^{2} + 7k = k(7^{3}k^{4} + 7k + 7)
\end{equation*}
dan
\begin{equation*}
ab^{2}+b+7 = (7k^{2})(7k)^{2} + 7k + 7 = 7^{3}k^{4} + 7k + 7.
\end{equation*}
Akibatnya,
\begin{equation*}
a^{2}b+a+b = k(7^{3}k^{4} + 7k + 7) = k(ab^{2}+b+7).
\end{equation*}
Jadi,
\begin{equation*}
ab^{2}+b+7 \vert a^{2}b+a+b.
\end{equation*}
Hal ini berarti, jika $ (a,b) = (7k^{2}, 7k) $, maka (1) terpenuhi.
Jika $ b^{2}-7a > 0 $, maka menurut (2), $ ab^{2}+b+7 \le b^{2}-7a $, dan
\begin{equation*}
b^{2}-7a < b^{2} < ab^{2}+b+7.
\end{equation*}
Kontradiksi. Dengan demikian, kasus ini tidak mungkin berlaku.
Jika $ b^{2}-7a < 0 $, maka menurut (2), $ ab^{2}+b+7 \le 7a - b^{2} $.
Diperoleh $ b^{2} < 7 $ (jika $ b^{2} \geq 7 $, maka $ -b^{2} \leq -7 $ dan
\begin{equation*}
7a \le b^{2}a < ab^{2}+b+7 \le 7a - b^{2}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow 7a < 7a - b^{2}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow 0 < - b^{2},
\end{equation*}
adalah suatu kontradiksi). Karena $ b $ bilangan bulat positif, maka $ b=1 $ atau $ b = 2 $.
Jika $ b=1 $, maka menurut (1)
\begin{equation*}
a+8 \vert a^{2}+a+1 = a(a+8)-7(a+8)+57
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow a+8 \vert 57.
\end{equation*}
Karena $ a+8 \geq 9 $, maka $ a+8 = 19 $ atau $ a+8 = 57 $. Jadi, $ a=11 $ atau $ a = 49 $.
Akan diuji apakah $ (11,1) $ dan $ (49,1) $ memenuhi (1).
Untuk $ (11,1) $, diperoleh $ a^{2}b+a+b = 11^{2}+11+11 = 133 $ dan $ ab^{2}+b+7 = 11+1+7 = 19 $.
Kondisi (1) terpenuhi karena $ 19 \vert 113 $.
Untuk $ (49,1) $, diperoleh $ a^{2}b+a+b = 49^{2}+49+1 = 2451 $ dan $ ab^{2}+b+7 = 49+1+7 = 57 $.
Kondisi (1) terpenuhi karena $ 57 \vert 2451 $.
Jika $ b=2 $, maka menurut (1) juga (2) dipenuhi, yaitu
\begin{equation*}
4a+9 \vert 4-7a
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow 4a+9 \vert a + 22
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow 3a \le 13
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow a \in \{1,2,3,4\}.
\end{equation*}
Dapat diuji bahwa, tidak ada satupun pasangan $(1,2),(2,2),(3,2),(4,2)$ yang memenuhi kondisi (1).
Denga demikian, pasangan-pasangan bilangan bulat positif yang memenuhi kondisi (1)
adalah $ (11,1),(49,1) $, dan $ (a,b) = (7k^{2}, 7k) $ untuk setiap $ k \geq 1 $.
Komentar
Posting Komentar