Nicky Tumalun

Soal. Buktikan bahwa setiap bilangan asli dapat dituliskan sebagai selisih dua bilangan asli yang mempunyai faktor-fakor prima sama banyaknya. Diskusi Pendahuluan. Maksud dari soal di atas adalah sebagai berikut. Misalkan $n$ adalah bilangan asli. Kita harus membuktikan bahwa terdapat dua bilangan asli $u$ dan $w$, sehingga $n=u-w$, dengan faktor prima prima dari $u$ sama banyaknya dengan faktor prima dari $w$. Bukti. Misalkan $n$ adalah bilangan asli. Menurut Teorema Dasar Aritmatika ( Fundamental Theorem of Arithmatic ), terdapat bilangan asli $m$ sehingga \begin{equation*} n = p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{m}^{k_{m}}, \qquad (1) \end{equation*} dengan $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{k}$ adalah bilangan-bilangan prima (saling berbeda), dan $ k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m} $ adalah bilangan-bilangan asli. Notasi (1) menyatakan bahwa terdapat sebanyak $m$ faktor-faktor prima dari $n$. Bukti terbagi menjadi dua kasus, pertama $n$ genap dan kedua $n$ ganjil. Misalkan $n$ genap. P...

Soal. Misalkan $a,b$, dan $c$ adalah tiga bilangan bulat yang semuanya tak nol, $a \neq c$, serta memenuhi kondisi \begin{equation*} \frac{a}{c} = \frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}+b^{2}}. \qquad (1) \end{equation*} Buktikan bahwa $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ bukan bilangan prima. Bukti. Kita akan membuktikan secara kontradiksi. Andaikan $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ bilangan prima. Menurut kondisi (1), diperoleh \begin{equation*} a(c^{2}+b^{2})=c(a^{2}+b^{2}) \end{equation*} \begin{equation*} \Rightarrow ac^{2}+ab^{2}=ca^{2}+cb^{2} \end{equation*} \begin{equation*} \Rightarrow ac^{2}+ab^{2} - ca^{2} - cb^{2} = 0 \end{equation*} \begin{equation*} \Rightarrow ab^{2} - a^{2}c + ac^{2} - b^{2}c = 0 \end{equation*} \begin{equation*} \Rightarrow a(b^{2} - ac) + c(ac - b^{2}) = 0 \end{equation*} \begin{equation*} \Rightarrow a(b^{2} - ac) - c(b^{2} - ac) = 0 \end{equation*} \begin{equation*} \Rightarrow (a-c)(b^{2} - ac) = 0. \qquad (2) \end{equation*} Menurut kondisi (2) dan karena $a \neq c$, maka \begin{equation...

Soal. Tentukan semua pasangan bilangan bulat positif $(a,b)$ sehingga \begin{equation*} ab^{2}+b+7 \vert a^{2}b+a+b. \qquad (1) \end{equation*} Jawab. Misalkan $ab^{2}+b+7 \vert a^{2}b+a+b$. Karena $ ab^{2}+b+7 \vert ab^{2}+b+7 $, maka \begin{equation*} ab^{2}+b+7 \vert b(a^{2}b+a+b)-a(ab^{2}+b+7) \end{equation*} \begin{equation*} \Rightarrow ab^{2}+b+7 \vert b^{2}-7a. \qquad (2) \end{equation*} Menurut (2), terdapat tiga kasus, yaitu, $ b^{2}-7a = 0 $, atau $ b^{2}-7a 0 $. Jika $ b^{2}-7a = 0 $, maka $ b^{2} = 7a $. Perhatikan bahwa, untuk setiap bilangan bulat positif $k$, jika $ a=7k^{2} $, maka $ b^{2} = 7a = 7^{2}k^{2} = (7k)^{2} $. Hal ini berarti, $ b = 7k $. Akan diuji, untuk setiap bilangan bulat positif $ k $, maka $ (a,b) = (7k^{2}, 7k) $ memenuhi (1). Jika $ (a,b) = (7k^{2}, 7k) $, maka \begin{equation*} a^{2}b+a+b = (7k^{2})^{2}(7k) + 7k^{2} + 7k = 7^{3}k^{5} + 7k^{2} + 7k = k(7^{3}k^{4} + 7k + 7) \end{equation*} dan \begin{equation*} ab^{2}+b+7 = (7k^{2})(7k)^{2} +...

Soal. Carilah semua bilangan asli $ n $ sehingga $ 3^{n-1} + 5^{n-1} $ membagi $ 3^{n} + 5^{n} $. Jawab: (hanya $ n=1 $ yang memenuhi) Diperhatikan bahwa $ 3^{n-1} Dengan demikian, terdapat tiga kasus. Pertama, $ \frac{3^{n} + 5^{n}}{3^{n-1} + 5^{n-1}} = 2 $. Karena $ 2(3^{n-1}+5^{n-1}) Kedua, $ \frac{3^{n} + 5^{n}}{3^{n-1} + 5^{n-1}} = 3 $. Karena $ 3(3^{n-1}+5^{n-1}) Dengan demikian, hanya tersisa kasus ketiga, yaitu, $ \frac{3^{n} + 5^{n}}{3^{n-1} + 5^{n-1}} = 4 $. Untuk $ n = 1 $, diperoleh $ \frac{3^{n} + 5^{n}}{3^{n-1} + 5^{n-1}} = \frac{3^{1} + 5^{1}}{3^{0} + 5^{0}} = \frac{8}{2} = 4 $. Untuk $ n = 2 $, diperoleh $ \frac{3^{n} + 5^{n}}{3^{n-1} + 5^{n-1}} = \frac{3^{2} + 5^{2}}{3^{1} + 5^{1}} = \frac{34}{8} > 4 $. Jika kita bisa akan membuktikan bahwa $ \frac{3^{n} + 5^{n}}{3^{n-1} + 5^{n-1}} > 4 $, untuk setiap $ n \geq 2 $, maka jawaban soal ini adalah hanya $ n = 1 $ sehingga $ 3^{n-1} + 5^{n-1} $ membagi $ 3^{n} + 5^{n} $. Mari kita buktikan. Karena $...

Melanjutkan postingan saya sebelumnya: Pembahasan Soal Teori Bilangan International Mathematics Olympiad (IMO) Tahun 1959 , kali ini saya akan membahas soal teori bilangan yang muncul dalam kontes IMO tahun 1960. Untuk memecahkan soal ini, kita hanya memerlukan pengetahuan mengenai representasi desimal basis 10 bilangan asli. Berikut soal dan pembahasannya. Soal. Carilah semua bilangan asli tiga digit sehingga bilangan tersebut sama dengan 11 dikali jumlah kuadrat digit-digitnya. Diskusi Pendahuluan. Misalkan $ n $ bilangan asli tiga digit, maka \begin{equation*} n = \overline{abc} = 100a + 10b + c \end{equation*} untuk suatu bilangan-bilangan bulat $ a $, $ b $, dan $ c $, dengan $ 1 \leq a \leq 9 $, $ 0 \leq b \leq 9 $, dan $ 0 \leq c \leq 9 $. Jawaban. Misalkan $ n = \overline{abc} $ bilangan asli tiga digit yang memenuhi soal, yaitu \begin{equation}\label{(1)} 100a + 10b + c = n = 11(a^2 + b^2 + c^2). \qquad (1) \end{equation} Menurut (1), diperoleh \begin{align} (99a +...

Dalam tulisan ini, saya akan membahas mengenai Teorema (Prinsip) Induksi Matematika yang akan kita singkat dengan PIM. PIM digunakan sebagai metode pembuktian rumus/formula yang berkaitan dengan himpunan bilangan asli. Ide pembuktian dengan metode induksi matematika dimulai oleh Francesco Maurolico, seorang matematikawan asal Itali yang hidup pada tahun 1494–1575. Maurolico menggunakan metode induksi matematika dengan cara yang "agak samar". Penggunaan metode pembuktian dengan induksi matematika yang pertama kali dengan cara moderen saat ini sebagai metode pembuktian yang sah, muncul dalam artikel Traite du Triangle Arithmetique yang dipublikasikan pada abad ke-17. Artikel ini ditulis oleh Blaise Pascal pada tahun 1653 yang dicetak untuk publikasi pada tahun 1665 (David Burton, The History of Mathematics: An Introduction, 2011) . Himpunan bilangan asli akan kita notasikan dengan $\mathbb{N}$, yaitu \begin{equation*} \mathbb{N} = \{ 1, 2, 3, 4, \dots, n, n+1, \dots \}. \e...

Berikut ini, saya akan membahas soal Teori Bilangan yang muncul dalam kontes IMO tahun 1959. Soal. Buktikan bahwa, pecahan \begin{equation*} \frac{21n+4}{14n+3} \end{equation*} tidak dapat disederhanakan, untuk setiap bilangan asli $ n $. Diskusi Pendahuluan. Sebelum membuktikan soal ini, kita perlu mengerti maksud dari "pecahan tidak dapat disederhanakan" dalam konteks teori bilangan. Misalkan $ a $ dan $ b \neq 0 $ keduanya bilangan bulat. Pecahan $ \frac{a}{b} $ tidak dapat disederhanakan jika dan hanya jika $ FPB(a,b) = 1 $. Dengan kata lain, pecahan $ \frac{a}{b} $ tidak dapat disederhanakan jika dan hanya jika faktor positif bersama dari $ a $ dan $ b $ hanya bilangan asli $ 1 $ (kalimat lain adalah $ a $ dan $ b $ keduanya saling prima). Selanjutnya, untuk membuktikan Soal ini, kita memerlukan sifat (teorema) berikut ini: Misalkan $ a, b, d $ adalah bilangan-bilangan bulat. Jika $ d|a $ dan $ d|b $, maka $ d| (ax + by) $, untuk setiap bilangan-bilangan bula...