Nicky Tumalun

Soal. Buktikan bahwa setiap bilangan asli dapat dituliskan sebagai selisih dua bilangan asli yang mempunyai faktor-fakor prima sama banyaknya. Diskusi Pendahuluan. Maksud dari soal di atas adalah sebagai berikut. Misalkan $n$ adalah bilangan asli. Kita harus membuktikan bahwa terdapat dua bilangan asli $u$ dan $w$, sehingga $n=u-w$, dengan faktor prima prima dari $u$ sama banyaknya dengan faktor prima dari $w$. Bukti. Misalkan $n$ adalah bilangan asli. Menurut Teorema Dasar Aritmatika ( Fundamental Theorem of Arithmatic ), terdapat bilangan asli $m$ sehingga \begin{equation*} n = p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{m}^{k_{m}}, \qquad (1) \end{equation*} dengan $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{k}$ adalah bilangan-bilangan prima (saling berbeda), dan $ k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m} $ adalah bilangan-bilangan asli. Notasi (1) menyatakan bahwa terdapat sebanyak $m$ faktor-faktor prima dari $n$. Bukti terbagi menjadi dua kasus, pertama $n$ genap dan kedua $n$ ganjil. Misalkan $n$ genap. P...

Soal. Misalkan $a,b$, dan $c$ adalah tiga bilangan bulat yang semuanya tak nol, $a \neq c$, serta memenuhi kondisi \begin{equation*} \frac{a}{c} = \frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}+b^{2}}. \qquad (1) \end{equation*} Buktikan bahwa $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ bukan bilangan prima. Bukti. Kita akan membuktikan secara kontradiksi. Andaikan $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ bilangan prima. Menurut kondisi (1), diperoleh \begin{equation*} a(c^{2}+b^{2})=c(a^{2}+b^{2}) \end{equation*} \begin{equation*} \Rightarrow ac^{2}+ab^{2}=ca^{2}+cb^{2} \end{equation*} \begin{equation*} \Rightarrow ac^{2}+ab^{2} - ca^{2} - cb^{2} = 0 \end{equation*} \begin{equation*} \Rightarrow ab^{2} - a^{2}c + ac^{2} - b^{2}c = 0 \end{equation*} \begin{equation*} \Rightarrow a(b^{2} - ac) + c(ac - b^{2}) = 0 \end{equation*} \begin{equation*} \Rightarrow a(b^{2} - ac) - c(b^{2} - ac) = 0 \end{equation*} \begin{equation*} \Rightarrow (a-c)(b^{2} - ac) = 0. \qquad (2) \end{equation*} Menurut kondisi (2) dan karena $a \neq c$, maka \begin{equation...

Soal. Tentukan semua pasangan bilangan bulat positif $(a,b)$ sehingga \begin{equation*} ab^{2}+b+7 \vert a^{2}b+a+b. \qquad (1) \end{equation*} Jawab. Misalkan $ab^{2}+b+7 \vert a^{2}b+a+b$. Karena $ ab^{2}+b+7 \vert ab^{2}+b+7 $, maka \begin{equation*} ab^{2}+b+7 \vert b(a^{2}b+a+b)-a(ab^{2}+b+7) \end{equation*} \begin{equation*} \Rightarrow ab^{2}+b+7 \vert b^{2}-7a. \qquad (2) \end{equation*} Menurut (2), terdapat tiga kasus, yaitu, $ b^{2}-7a = 0 $, atau $ b^{2}-7a 0 $. Jika $ b^{2}-7a = 0 $, maka $ b^{2} = 7a $. Perhatikan bahwa, untuk setiap bilangan bulat positif $k$, jika $ a=7k^{2} $, maka $ b^{2} = 7a = 7^{2}k^{2} = (7k)^{2} $. Hal ini berarti, $ b = 7k $. Akan diuji, untuk setiap bilangan bulat positif $ k $, maka $ (a,b) = (7k^{2}, 7k) $ memenuhi (1). Jika $ (a,b) = (7k^{2}, 7k) $, maka \begin{equation*} a^{2}b+a+b = (7k^{2})^{2}(7k) + 7k^{2} + 7k = 7^{3}k^{5} + 7k^{2} + 7k = k(7^{3}k^{4} + 7k + 7) \end{equation*} dan \begin{equation*} ab^{2}+b+7 = (7k^{2})(7k)^{2} +...

Soal. Carilah semua bilangan asli $ n $ sehingga $ 3^{n-1} + 5^{n-1} $ membagi $ 3^{n} + 5^{n} $. Jawab: (hanya $ n=1 $ yang memenuhi) Diperhatikan bahwa $ 3^{n-1} Dengan demikian, terdapat tiga kasus. Pertama, $ \frac{3^{n} + 5^{n}}{3^{n-1} + 5^{n-1}} = 2 $. Karena $ 2(3^{n-1}+5^{n-1}) Kedua, $ \frac{3^{n} + 5^{n}}{3^{n-1} + 5^{n-1}} = 3 $. Karena $ 3(3^{n-1}+5^{n-1}) Dengan demikian, hanya tersisa kasus ketiga, yaitu, $ \frac{3^{n} + 5^{n}}{3^{n-1} + 5^{n-1}} = 4 $. Untuk $ n = 1 $, diperoleh $ \frac{3^{n} + 5^{n}}{3^{n-1} + 5^{n-1}} = \frac{3^{1} + 5^{1}}{3^{0} + 5^{0}} = \frac{8}{2} = 4 $. Untuk $ n = 2 $, diperoleh $ \frac{3^{n} + 5^{n}}{3^{n-1} + 5^{n-1}} = \frac{3^{2} + 5^{2}}{3^{1} + 5^{1}} = \frac{34}{8} > 4 $. Jika kita bisa akan membuktikan bahwa $ \frac{3^{n} + 5^{n}}{3^{n-1} + 5^{n-1}} > 4 $, untuk setiap $ n \geq 2 $, maka jawaban soal ini adalah hanya $ n = 1 $ sehingga $ 3^{n-1} + 5^{n-1} $ membagi $ 3^{n} + 5^{n} $. Mari kita buktikan. Karena $...